사영 선형군

3. 성질

가환환 K 및 자연수 n∈N에 대하여, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

:$\backslash begin\{matrix\}$

1 & \to & K^\times & \to & \operatorname{GL}(n;K) & \to & \operatorname{PGL}(n;K) & \to & 1 \\

& & {\scriptstyle(-)^n}\downarrow{\color{White}\scriptstyle(-)^n} & & \downarrow & & \downarrow \\

1 & \to & \operatorname{SZ}(n;K) & \to & \operatorname{SL}(n;K) & \to & \operatorname{PSL}(n;K) & \to & 1 \\

\end{matrix}

여기서 $\backslash operatorname\{SZ\}(n;K)$는 n차 거듭제곱근을 (하나 이상 갖는) K의 가역원들의 아벨 군이다.

만약 K에서 모든 n차 거듭제곱근이 존재한다면, PGL(n;K)와 PSL(n;K)는 서로 같다.

사영 선형군은 공선점을 공선점으로 보낸다.^[3] 그러나 이는 전체 공선 변환군이 아니며, 대신 PΓL 또는 전체 대칭군이다. PGL은 사영 공간에서 충실하게 작용하며, 2-추이적으로 작용한다.

PGL(2, K)는 사영 직선에서 3-추이적으로 작용하지만, n ≥ 3인 경우 PGL(n, K)는 3-추이적으로 작용하지 않는다. PGL(2, K)는 사영 직선에서 4-추이적으로 작용하지 않는다(PGL(2, 3) 제외).

PSL과 PGL은 중심이 없는 군이다.^[4]

4. 명칭의 유래

사영 선형군이라는 이름은 사영 기하학에서 유래하며, 균질 좌표(''x''₀ : ''x''₁ : ... : ''x_n'')에 작용하는 사영군은 기하학의 기본군이다.^[2] 다르게 말하면, GL(''V'')의 ''V''에 대한 자연스러운 군 작용은 PGL(''V'')의 사영 공간 ''P''(''V'')에 대한 작용으로 내려온다.

따라서 사영 선형군은 뫼비우스 변환(PGL(2, '''C''')) (때로는 뫼비우스 군)의 경우를 일반화하며, 이 변환은 사영 직선에 작용한다.

일반 선형군과 달리, 일반 선형군은 "선형 (벡터 공간) 구조를 보존하는 가역 함수"로 공리적으로 정의되지만, 사영 선형군은 "사영 선형 구조를 보존하는 가역 함수"로 공리적으로 정의되기보다는 관련 벡터 공간의 일반 선형군의 몫으로, ''구성적으로'' 정의된다.

5. 원소

사영 선형군의 원소는 축 중 하나를 따라 "평면을 기울인" 다음 원래 평면에 투영하는 것으로 이해할 수 있으며, 차원은 ''n''이다.

6. 유한체 위에서의 사영 선형군

유한체 $\backslash mathbb\; F\_q$ 위의 사영 선형군의 크기는 다음과 같다.

:$|\backslash operatorname\{PGL\}(n;\backslash mathbb\; F\_q)|\; =\; \backslash frac1\{q-1\}|\backslash operatorname\{GL\}(n;\backslash mathbb\; F\_q)|=\backslash frac1\{q-1\}\backslash prod\_\{i=0\}^\{n-1\}(q^n-q^i)$

:$\backslash operatorname\{PSL\}(n,\; q)\; \backslash vert\; =\; q^\{n(n\; -\; 1)/2\}\; \backslash prod\_\{i\; =\; 2\}^n\; (q^i\; -\; 1)/d,\; \backslash qquad\; d\; =\; (n,\; q\; -\; 1).$

또한, 다음과 같은 군의 동형이 존재한다.

:$\backslash operatorname\{PSL\}(2;\backslash mathbb\; F\_2)\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Sym\}(3)$

:$\backslash operatorname\{PSL\}(2;\backslash mathbb\; F\_3)\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Alt\}(4)$

:$\backslash operatorname\{PGL\}(2;\backslash mathbb\; F\_3)\; \backslash cong\; \backslash operatorname\{Sym\}(4)$

여기서 $\backslash operatorname\{Sym\}(-)$은 대칭군이며, $\backslash operatorname\{Alt\}(-)$는 교대군이다.

사영 특수 선형군 PSL|PSL(''n'', '''F'''_''q'')^영어는 유한체 '''F'''_''q''에 대해 종종 PSL|PSL(''n'', ''q'')^영어 또는 ''L''_''n''(''q'')로 표기된다.

에바리스트 갈루아는 1830년대에 PSL(2, ''p'')를 구성하였으며, 이는 교대군에 이어 유한 단순군의 두 번째 계열이었다.^[6] 갈루아는 이를 분수 선형 변환으로 구성했으며, ''p''가 2 또는 3인 경우를 제외하고는 단순하다는 것을 관찰했다.^[7]

임의의 소수 거듭제곱 ''q''에 대한 군 PSL|PSL(''n'', ''q'')^영어(일반 ''n'', 일반 유한체)은 1870년 카미유 조르당의 ''치환과 대수 방정식에 관한 논문(Traité des substitutions et des équations algébriques)''에서 구성되었다.

PGL|PGL(''n'', ''q'')^영어의 차수는 다음과 같다.

: (''q''^''n'' − 1)(''q''^''n'' − ''q'')(''q''^''n'' − ''q''²) ⋅⋅⋅ (''q''^''n'' − ''q''^''n''−1)/(''q'' − 1) = ''q''^''n''2−1 − O(''q''^''n''2−3).

이는 일반 선형군의 차수를 사영화하기 위해 $q-1$로 나눈 값과 같다.

6. 1. 단순성

• L₂(4) ≅ L₂(5) ≅ A₅
• L₂(9) ≅ A₆
• L₄(2) ≅ A₈

7. 예외적인 동형 사상

사영 특수 선형군과 교대군 사이에는 다음과 같은 예외적인 동형사상이 존재한다.^[9]

• `''L''<sub>2</sub>(4) ≅ ''A''<sub>5</sub>`
• `''L''<sub>2</sub>(5) ≅ ''A''<sub>5</sub>`
• `''L''<sub>2</sub>(9) ≅ ''A''<sub>6</sub>`
• `''L''<sub>4</sub>(2) ≅ ''A''<sub>8</sub>`

• PSL(2, 5)^영어 ≅ A₅ ≅ ''I'' (다섯 개의 원소에 대한 교대군, 또는 정이십면체 군)
• PGL(2, 5)^영어 ≅ S₅ (다섯 개의 원소에 대한 대칭군)
• SL(2, 5)^영어 ≅ 2 ⋅ A₅ ≅ 2''I'' (교대군 A₅의 이중 덮개, 또는 이진 정이십면체 군)

• `''L''<sub>2</sub>(7) ≅ ''L''<sub>3</sub>(2)` (차수 168의 단순군, 두 번째로 작은 비가환 단순군, PSL(2, 7) 참조)

8. 특수한 경우

PSL(2, ''p'')가 ''p''개의 점에 비자명하게 작용하는 경우는 ''p''가 2, 3, 5, 7, 11일 때뿐이다.^[11] 이는 1832년 에바리스트 갈루아가 슈발리에에게 보낸 마지막 편지에서 처음으로 관찰되었다.^[12]

• ''L''₂(2) ≅ S₃ → S₂ (부호 사상을 통해)
• ''L''₂(3) ≅ A₄ → A₃ ≅ C₃ (클라인 4-군으로 몫을 취함으로써)
• ''L''₂(5) ≅ A₅. 정 이십면체 대칭군을 이용하면 다섯 개의 관련된 정사면체에 대한 작용을 고려할 수 있다.
• ''L''₂(7) ≅ ''L''₃(2)는 파노 평면의 7개 점에 작용한다.
• ''L''₂(11)은 차수 3의 이중 평면에 작용한다.^[13]

• L*₂(11)의 경우, 이중 평면 기하학을 통해 작용을 이해할 수 있다. 점은 아핀 선 '''F'''₁₁이며, 첫 번째 선은 5개의 0이 아닌 2차 잉여(제곱인 점: 1, 3, 4, 5, 9)로 정의되고, 다른 선은 이의 아핀 평행 이동이다. ''L''₂(11)은 이 기하학을 보존하는 S₁₁의 부분군과 동형이 되어, 11개 점 집합에 작용한다.

8. 1. 사영 직선 위에서의 작용

• PGL(2, ''q'')의 차수는 (''q''² - 1)(''q''² - ''q'')/(''q'' - 1) = ''q''³ - ''q'' = (''q'' - 1)''q''(''q'' + 1)이다. PSL(2, ''q'')의 차수는 특성이 2인 경우 이 값과 같고, 특성이 2가 아닌 경우 이 값의 절반이다.
• 사영 선형군의 사영 직선에 대한 작용은 3-추이적 작용이며 충실한 작용이므로, 이 사상은 일대일 대응이며, 3-추이적 부분군을 갖는다.

• PSL(2, 2) = PGL(2, 2) → S₃는 차수가 6이고, 동형사상이다.
• * 역 사상(S₃의 표현)은 비조화군에 의해 실현될 수 있으며, 일반적으로 모든 체에 대해 S₃ → PGL(2, ''q'')의 매장을 생성한다.
• PSL(2, 3) < PGL(2, 3) → S₄는 차수가 각각 12와 24이며, 후자는 동형사상이고, PSL(2, 3)은 교대군이다.
• * 비조화군은 반대 방향으로 부분 사상을 제공하여 S₃ → PGL(2, 3)을 점 -1의 안정자로 매핑한다.
• PSL(2, 4) = PGL(2, 4) → S₅는 차수가 60이며, 교대군 A₅를 생성한다.
• PSL(2, 5) < PGL(2, 5) → S₆는 차수가 60과 120이며, S₆(각각 A₆)의 *추이적* 부분군으로 S₅(각각 A₅)의 매장을 생성한다. 이는 이국적인 사상 S₅ → S₆의 예이며, S₆의 예외적인 외부 자기 동형사상을 구성하는 데 사용할 수 있다.^[10] 참고로, 동형사상 PGL(2, 5) ≅ S₅는 이 표현에서 명확하지 않다. PGL(2, 5)가 작용하는 특별히 자연스러운 5개의 원소 집합이 없다.

8. 2. p개의 점 위에서의 작용

• *L*₂(2) ≅ S₃ → S₂ (부호 사상을 통해)
• *L*₂(3) ≅ A₄ → A₃ ≅ C₃ (클라인 4-군으로 몫을 취함으로써)
• *L*₂(5) ≅ A₅. 정 이십면체 대칭군을 이용하면 다섯 개의 관련된 정사면체에 대한 작용을 고려할 수 있다.
• *L*₂(7) ≅ *L*₃(2)는 파노 평면의 7개 점에 작용한다.
• *L*₂(11)은 차수 3의 이중 평면에 작용한다.^[13]

• L*₂(11)의 경우, 이중 평면 기하학을 통해 작용을 이해할 수 있다. 점은 아핀 선 '''F'''₁₁이며, 첫 번째 선은 5개의 0이 아닌 2차 잉여(제곱인 점: 1, 3, 4, 5, 9)로 정의되고, 다른 선은 이의 아핀 평행 이동이다. ''L''₂(11)은 이 기하학을 보존하는 S₁₁의 부분군과 동형이 되어, 11개 점 집합에 작용한다.

8. 3. 모듈러 군

8. 4. 허위츠 곡면

9. 위상

실수 및 복소수에 대해 PGL과 PSL의 위상은 이를 정의하는 올다발을 통해 결정될 수 있다.

:$\backslash begin\{matrix\}$

\mathrm{ Z} &\cong& K^\times &\to& \mathrm{GL} &\to& \mathrm{PGL} \\

\mathrm{SZ} &\cong& \mu_n &\to& \mathrm{SL} &\to& \mathrm{PSL}

\end{matrix}

올의 긴 완전열을 사용한다.

실수와 복소수 모두에 대해 SL은 PSL의 덮개 공간이며, 시트는 ''K''에 있는 ''n''제곱근의 개수와 같다. 따라서 특히 모든 고차 호모토피 군이 일치한다. 실수의 경우, SL은 ''n''이 짝수일 때 PSL의 2겹 덮개이고, ''n''이 홀수일 때 1겹 덮개, 즉 동형사상이다.

: ±1 → SL(2''n'', '''R''') → PSL(2''n'', '''R''')

: SL(2''n'' + 1, '''R''') → PSL(2''n'' + 1, '''R''')

복소수의 경우, SL은 PSL의 ''n''겹 덮개이다.

PGL의 경우, 실수에 대해 올은 '''R'''^× ≅ ±1이므로, 호모토피까지 GL → PGL은 2겹 덮개 공간이고 모든 고차 호모토피 군이 일치한다.

복소수에 대한 PGL의 경우, 올은 '''C'''^× ≅ ''S''¹이므로, 호모토피까지 GL → PGL은 원 다발이다. 원의 고차 호모토피 군은 사라지므로, GL(''n'', '''C''')과 PGL(''n'', '''C''')의 호모토피 군은 ''n'' ≥ 3에 대해 일치한다. 사실, ''π''₂는 항상 리 군에 대해 사라지므로, 호모토피 군은 ''n'' ≥ 2에 대해 일치한다. ''n'' = 1에 대해, ''π''₁(GL(''n'', '''C''')) = ''π''₁(''S''¹) = '''Z'''임을 알 수 있다. PGL(2, '''C''')의 기본군은 2차 유한 순환군이다.

10. 표현론

군 준동형 사상 ''G'' → PGL(''V'')는 군 ''G''에서 사영 선형군으로의 사상으로, 선형 표현 (준동형 사상 ''G'' → GL(''V''))에 비유하여 군 ''G''의 사영 표현이라고 불린다. 이는 이사이 슈어에 의해 연구되었으며, 그는 ''G''의 사영 표현을 ''G''의 중심 확대의 선형 표현의 관점에서 분류할 수 있음을 보였다. 이는 이 문제를 해결하는 데 사용되는 슈어 승수로 이어졌다.

11. 낮은 차원

n = 0의 경우, ''K''⁰의 사영 공간은 비어 있는데, 0차원 공간의 1차원 부분 공간이 없기 때문이다. 따라서 PGL(0, ''K'')는 공집합에서 자신으로 가는 유일한 빈 맵으로 구성된 자명군이다.

n = 1의 경우, ''K''¹의 사영 공간은 단일 점인데, 1차원 부분 공간이 하나 있기 때문이다. 따라서 PGL(1, ''K'')는 싱글톤 집합에서 자신으로 가는 유일한 맵으로 구성된 자명군이다.

n = 2의 경우, PGL(2, ''K'')는 3-추이적이라는 점에서 특이하다.

12. 부분군

• 사영 직교군(PO)은 사영 선형군(PGL)의 최대 콤팩트 부분군이다.
• 사영 유니타리군(PU)
• 사영 특수 직교군(PSO)은 사영 특수 선형군(PSL)의 최대 콤팩트 부분군이다.
• 사영 특수 유니타리군(PSU)

13. 더 큰 군

• 사영 준선형군(PΓL)은 체 자기동형 사상을 허용한다.
• 크레모나 군 Cr(''P''^''n''(''k''))는 유리적 자기동형 사상의 군이다. 모든 양방향 정칙 자기동형 사상은 선형이므로, PGL은 양방향 정칙 자기동형 사상의 군과 일치한다.

참조

_[1] 서적 Complex functions: an algebraic and geometric viewpoint https://books.google[...] Cambridge UP 1987
_[2] 문서 This is therefore PGL(''n'' + 1, ''F'') for projective space of dimension ''n''
_[3] 문서 "Preserving the incidence relation" means that if point ''p'' is on line ''l'' then ''f''(''p'') is in ''g''(''l''); formally, if (''p'', ''l'') ∈ ''I'' then (''f''(''p''), ''g''(''l'')) ∈ ''I''.
_[4] 문서 For PSL (except PSL(2, 2) and PSL(2, 3)) this follows by Grün's lemma because SL is a perfect group (hence center equals hypercenter), but for PGL and the two exceptional PSLs this requires additional checking.
_[5] 웹사이트 Math 155r 2010 http://math.harvard.[...]
_[6] 서적 The finite simple groups Springer-Verlag 2009
_[7] 간행물 Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier http://visualiseur.b[...] 2009-02-04
_[8] 문서 These are equal because they are the kernel and cokernel of the endomorphism ''F''^× {{overset|lh=0.6|''x''^''n''|→}} ''F''^×}}; formally, {{nowrap|1={{abs|''μ''_''n''}} ⋅ {{abs|(''F''^×)^''n''}} = {{abs|''F''^×}}}}. More abstractly, the first realizes PSL as SL{{hsp}}/{{hsp}}SZ, while the second realizes PSL as the kernel of {{nowrap|PGL → ''F''^×{{hsp}}/{{hsp}}(''F''^×)^''n''}}.
_[9] 간행물 The Alternating Group A₈ and the General linear Group GL(4, 2) 1999-12
_[10] 웹사이트 Small finite sets http://sbseminar.wor[...] 2007-10-27
_[11] 문서 Since ''p'' divides the order of the group, the group does not embed in (or, since simple, map non-trivially to) ''S_k'' for {{nowrap|''k'' < ''p''}}, as ''p'' does not divide the order of this latter group.
_[12] 문서 Letter, pp. 411–412
_[13] 간행물 The Graph of the Truncated Icosahedron and the Last Letter of Galois https://www.ams.org/[...] 1995
_[14] 웹사이트 Lecture notes for April 14, 2010 http://www.math.harv[...]
_[15] 문서 1995
_[16] 웹사이트 Galois’ last letter http://www.neverendi[...] 2010-08-15
_[17] 웹사이트 From Biplanes to the Klein quartic and the Buckyball http://www.neverendi[...] 2008-04-17
_[18] 문서 Conway, Sloane, SPLAG
_[19] 문서 In projective coordinates, the points {{mset|0, 1, ∞}} are given by [0:1], [1:1], and [1:0], which explains why their stabilizer is represented by integral matrices.
_[20] 문서 This isomorphism can be seen by removing the minus signs in matrices, which yields the matrices for {{nowrap|PGL(2, 2)}}